Մաթեմատիկա

08.10

Բաժանում մնացորդով

Տոպրակում կա a հատ գնդիկ: Առանց տոպրակի մեջ նայելու հանում ենք 3 գնդիկ, հետո նորից 3 գնդիկ և այդպես շարունակ, մինչև 3 գնդիկ չկարողանանք հանել: Գրիր, թե ի՞նչ դեպքեր են հնարավոր: Գրիր օրինակներ՝ լրացնելով աղյուսակի համապատասխան վանդակները.

սկզբում գնդիկների թիվը	քանի անգամ եմ 3 գնդիկ հանել	մնացած գնդիկների թիվը
10	3	1
20	6	2
31	10	1
25	8	1

Այս բոլոր դեպքերը կարող ենք գրել մի բանաձի միջոցով՝

a=3q+r, որտեղ q-ն ցույց է տալիս, թե քանի անգամ ենք 3 գնդիկ հանել տոպրակից, և կարող է ընդունել 0, 1, 2, 3, … արժեքներ, իսկ r-ը ցույց է տալիս, թե վերջում, երբ արդեն 3 գնդիկ չէինք կարող հանել, քանի գնդիկ է մնացել տոպրակում և կարող է ընդունել 0, 1, 2 արժեք:

Ցանկացած a և b բնական (ընդհանուր դեպքում՝ a-ն կարող է լինել անբողջ) թվերի համար գոյություն ունեն այնպիսի q և r թվեր, որ

a=bq+r, որտեղ

q-ն կոչվում է ոչ լրիվ քանորդ, իսկ r-ը մնացորդ: Ընդ որում, տրված a և b թվերի համար այս ներկայացումը միարժեք է:

Դիցուք a=93, b=4. այս դեպքի համար գրիր (1) բանաձևը: Երկու այլ դեպք էլ ինքդ հորինիր:

a=93

b=4

a = bq + r

93= 4q + r

4q = 93-r

q = 93- r / 4

Երբ մնացորդը՝ r= 0, ստանում ենք մեզ ծանոթ բաժանման դեպքը: Այս դեպքում ասում էինք, որ a-ն b-ի բազմապատիկն է, իսկ b-ն՝ a-ի բաժանարարը:

Տեսնում ենք, որ r մնացորդը միշտ փոքր է b-ից: Օրինակ, երբ b=3, մնացորդը կարող է լինել 0, 1 կամ 2: Ուրեմն՝ բոլոր բնական թվերը կարող ենք բաժանել երեք խմբի՝

առանց մնացորդի բաժանվող թվեր	թվեր, որոնք տալիս են 1 մնացորդ	թվեր, որոնք տալիս են 2 մնացորդ
9	22	11
27	16	26
30	28	8
բանաձևը	16	35
3b	3b+1	3b+2

Ցանկացած բնական թիվ պետք է պատկանի այղ խմբերից որևէ մեկին՝

• չի կարող ոչ մեկին չպատկանել

• չի կարող միաժամանակ երկուսին պատկանել:

Այսպիսի աղյուսակ կազմեք, երբ b=5:

Վարժություններ

1. Ի՞նչ մնացորդ կստացվի, եթե 70-ը բաժանենք 6-ի:

4

2. Ի՞նչ մնացորդ կստացվի, եթե 100-ը բաժանենք 7-ի:

2

3. Հաշվիչի օգնությամբ ինչպե՞ս գտնենք մի թիվը մյուսին բաժանելիս ստացվող մնացորդը:

4. Գտեք այն թիվը, որը 17-ի բաժանելիս քանորդում ստացվում է 25, իսկ մնացորդում 9:

434

5. Թիվը 58-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 16: Այդ թիվը զո՞ւյգ է, թե՞ կենտ:

զույգ

6. Թիվը 448-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 252: Այդ թիվը բաժանվո՞ւմ է 28-ի:

այո

7. 2517 թիվը ինչ-որ թվի բաժանելիս քանորդում ստացվում է 66: Գտեք բաժանարարը և մնացորդը:

բաժանարար-38

մնացորդ-9

8. Թիվը 72-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 43: Ի՞նչ մնացորդ կստացվի այդ թիվը 18-ի բաժանելիս:

7

9. Գտեք ամենափոքր եռանիշ թիվը, որը 47-ի բաժանելիս տալիս է 31 մնացորդ:

105

10. Գտեք այն ամենամեծ քառանիշ թիվը, որը 91-ի բաժանելիս տալիս է 53 մնացորդ:

9972

04.10

. Եռանկյան կողմերի երկարությունները արտահայտվում են բնական թվերով:Կողմերից երկուսի երկարություններն են 7սմ և 11սմ: Ի՞նչ երկարություն կարող էունենալ մյուս կողմը:

5-17

2. Եռանկյան կողմերը արտահայտվում են բնական թվերով և կազմում ենթվաբանական պրոգրեսիա: 

• Բերեք օրինակներ: 

7,10,13

• Գտեք այնպիսի բնական թվեր, որոնք կազմեն թվաբանական պրոգրեսիա, բայց եռանկյան կողմեր չլինեն: 

1,2,3

3,6,9

10,20,30

• Ունենք թվաբանական պրոգրեսիա կազմող բնական երեք թիվ: Ի՞նչպայմանի պետք է բավարարեն առաջին անդամը և տարբերությունը, որպեսզի այդ թվերը լինեն եռանկյան կողմերի երկարություններ:

3. Բերեք օրինակ, երբ եռանկյան անկյունների մեծությունները կազմում ենթվաբանական պրոգրեսիա:

• Ի՞նչ օրինաչափություն եք նկատում

• Ապացուցեք ձեր եզրակացությունը:

4. Եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 1800 է: Որքա՞ն կլինի

• քառանկյան

360

• հնգանկյան

540

• վեցանկյան

720

• n–անկյան

n-2 x 180

ներքին անկյունների գումարը:

5. Ուղղանկյուն եռանկյան անկյուններից մեկը մյուսից մեծ է 180–ով: Գտեք այդեռանկյան անկյունների մեծությունները:

6. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյուններից մեկը մյուսից մեծ է չորս անգամ: Գտեքայդ եռանկյան անկյունները:

x=18

y=72

7. Ուղղանկյուն եռանկայն անկյունները հարաբերում են, ինչպես 1:2:6: Գտեք այդեռանկյան անկյունները:

X=20

2x=40

6x=120

8. Եռանկյան անկյունները հարաբերում են ինչպես 1:3:5: Գտեք այդ եռանկյանանկյունները:  

20:60:100

01.10

հանրահաշվական ձևափոխություններ

1. Հաշվեք արտահայտության արժեքը

• 2a +5b եթե a=4, b=-3

8 – 15 = -7

• 4m-3n+10 եթե m=-5, n=-8

-20 + 24 + 10 = 14

• 5x+2y-3z+7 եթե x=6, y=-17, z=-3

30 – 34 -21 = -25

2. Կատարեք բազմապատկում

• -4a(3b-2a) = 8a2 – 12ab
• (-5x+3y)2x = -10x2 + 6xy
• (3a-4b+5c)(-2) = -6a + 8b – 10c
• (x+2)(x-3) = x2 -x -6
• (5x+1)(2x+4) = 10x2 + 22x + 4
• (3b+2)(4-b) =– 3b2 + 10b + 8

3. Կրճատեք կոտորակները

• = 3a/4b
• = b/c
• = 2n/3p
• = a/b
• = a+b/2x
• = 12x2/5y(2x + 5y)

  24.09

Հանրահաշվական ձևափոխություններ

1. Կատարեք նման անդամների միացում

6a + 7b – 5c – 4b + 2a + c – 5a – 6a +2c = -3a + 3b – 2c

3y2 – 5y – 8y2 + 12y + 6y2 – 7y = y2

4a5 + 6a3 – a5 -2a3 +3a5 = 6a5 +4a3

10a2 + 7ab -4a2 +3b2 – 6ab – 6a2 – 4ab -5b2 = -3ab – 2b2

2. Բացեք փակագծերը և կատարեք նման անդամների միացում

(3k – 6n) + (-2k + 6n) = k

(10x3 – 4x2) – (2x2 – 5x3) = 15x3 – 6x2

(13x – 9y +7z) – (10x + 4y – 3z) +x +5y – (2z – 3y) – 8z = 4x – 5y

3. Կատարեք բազմապատկում

4a3(2a2 – 5a – 3) = 8a5 – 20a4 – 12a3

(4b3 – 3b2 + 7b – 10)(2b5) = 8b8 – 67 +14b6 – 20b5

(a + 3)(a2 – 3a + 9) = a3 – 3a2 + 9a + 3a2 – 9a + 21 = a3 + 21

(a3 – a2 + a -1)(a + 1) = a4 + a3 – a3 – a2 + a2 + a – a -1 = a4 -1

(x – y)(x3 + x2y + xy2 + y3) = x4 + x3y + x2y2 + xy3 – x3y –x2y2 – xy3 + y4 = x4+ y4

(a – b)(a +b) = a2 – b2

(a+b)(a+b) = a2 + 2ab + b2

Խնդիրներ բնական թվերի վերաբերյալ

1. Երկու հաջորդական բնական թվերի գումարը 23 է: Գտեք այդ թվերի արտադրյալը:

11 ∙ 12 = 132

2. Երեք հաջորդական բնական թվերի գումարը 30 է: Գտեք այդ թվերի քառակուսիների գումարը:

92 + 102 +112 = 81 + 100 + 121 = 302

3. Չորս հաջորդական բնական թվերի գումարը 74 է: Գտեք այդ թվերից ամենամեծի և ամենափոքրի տարբերության եռապատիկը:

3 (20 – 17) = 60 – 51 = 9

4. Երեք հաջորդական զույգ թվերի գումարը 48 է: Գտեք այդ թվերից ամենամեծի և ամեափոքրի քառակուսիների տարբերությունը:

182 – 142 = 324 – 196 = 128

5. Երեք հաջորդական բնական թվերի գումարը 288 է: Առանց այդ թվերը գտնելու որոշեք.

• Նրանց հաջորդող երեք բնական թվերի գումարը
• Նրանց հաջորդող հինգ բնական թվերի գումարը

6. Երկու հաջորդական բնական զույգ թվերի արտադրյալը 168 է: Գտեք այդ թվերի գումարը:

12 + 14 = 26

7. Երկու հաջորդական բնական կենտ թվերի արտադրյալը 143 է: Գտեք այդ թվերի կիսագումարը:

11 + 13/2 = 24/2 = 12

8. Երկու հաջորդական բնական թվերի քառակուսիների գումարը 41 է: Գտեք այդ թվերի կրկնապատիկ արտադրյալը:
9. Երկու թվերի տարբերությունը 3 է, իսկ քառակուսիների տարբերությունը 51: Գտեք այդ թվերը:
10. Երկու թվերի գումարի 17 է, իսկ քառակուսիների գումարը 157: Գտեք այդ թվերի տարբերության քառակուսին:
11. Երկու հաջորդական բնական կենտ թվերի քառակուսիների գումարը 14-ով մեծ է այդ թվերի գումարի հնգապատիկից: Գտեք այդ թվերը:

20.09

1. m ուղղի վրա տրված են M, N և K կետերը, ընդ որում MN = 85մմ, NK=1,15դմ: Ինչքա՞նկարող է լինել MK կատվածի երկարությունը սանտիմետրերով:

MK=MN+NK= 85մմ+115մմ=200մմ=20սմ

2. AOB անկյունը ուղիղ անկյուն է: Գծեք OC ճառագայթն այնպես, որ AOC անկյանմեծությունը լինի 450:

• Ինչքա՞ն է COB անկյան մեծությունը:

• Ինչպիսի՞ անկյուն է COB անկյունը:

Սուր

3. A, B և C կետերն ընկած են a ուղղի վրա, ընդ որում AB=5,7մ, BC=730սմ: Ինչքա՞ն կարող էլինել AC հատվածի երկարությունը դեցիմետրերով:

AB+BC=570սմ+730սմ=1200սմ=12000դմ

4. AOB անկյան մեծությունը 1200 է: Գծեք OC ճառագայն այնպես, որ AOC անկյանմեծությունը լինի 600:

• Ինչքա՞ն կլինի COB անկյան մեծությունը:

• Ինչպիսի՞ անկյուն է COB անկյունը:

Սուր

5. AB հատվածի երկարությունը 14սմ է: AB ուղղի վրա գտեք այն բոլոր D կետերը, որոնքբավարարեն DA=3DB պայմանին:

6. Ուղիղ անկյունը իր գագաթից ելնող ճառագայթով բաժանված է երկու այնպիսիմասերի, որ մեկի կեսը հավասար է մյուսի երրորդ մասին: Գտեք այդ անկյունները:

7. AB հատվածի երկարությունը 12սմ է: AB հատվածի վրա գտեք այն բոլոր M կետերը,որոնք բավարարում են MA=2MB պայմանին:

8. Ուղիղ անկյունը գագաթից ելնող երկու ճառագայթներով բաժանված է երեք մասի:Նրանցից մեկը հավասար է մյուս երկուսի տարբերությանը: Գտեք այդ անկյուններիցմեծի մեծությունը:

17.09

1. Գրեք հանրահաշվական արտահայտության տեսքով

• x թվի կրկնապատակի y թվի եռապատիկի գումարը

2x + 3y

• a և b թվերի կրկնապատիկ արտադրյալը
• a և b թվերի գումարի և տարբերության արտադրյալը

(a + b) (a-b) = a2 + b2

• x և y թվերի գումարի քառակուսին

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

• x և y թվերի քառակուսիների գումարը

x2 + y2

• a և b թվերի գումարի խորանարդը

(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2) (a + b) = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

• a ևb թվերի գումարի խորանարդների տարբերությունը

• c ևd թվերի տարբերության եռապատիկը

(c – d)3 = (c2 – 2cd + d2) (c – d) = c3 – c2d – 2c2d + 2cd2 + cd2 – d3 = c3 – 3c2d + 3cd2 + d3

• a ևb թվերի գումարի և c թվի արտադրյալը:

(a + b) ∙ c = ac + bc

2. Գրեք հավասարության տեսքով

• a ևb թվերի տարբերությունը հավասար է c:

a – b = c

5 – 3 = 2

• x-ըy-ից մեծ է չորսով

4x = y

• a թիվըերկոր անգամ մեծ է b թվից

2a = b

• a ևb թվերի գումարը հավասար է c և d թվերի արտադրյալին

a + b = c ∙ d

• x ևy թվերի տարբերությունը հինգ անգամ փոքր է նրանց գումարից

x – y = 5 (x + y)   26 14

• a թվիեռապատիկը 6-ով փոքր է b-ի հնգապատիկից

3a = 6 ∙ 5b

• z ևt թվերի թվերի գումարի քառակուսին 15-ով մեծ է նրանց քառակուսիների  գումարից

(z + t)2 +15 = z2 + t2

• x ևy թվերի արտադրյալը 7-ով փոքր է z և t թվերի գումարի քառակուսուց:

x ∙ y = 7 + (z + t)2

3. Գրեք անհավասարության տեսքով

• a թիվը փոքր է b և c թվերի գումարից

a < b + c

• x թիվը մեծ է ութից

x > 8

• y թիվը փոքր չէ տասից

y > 10

• a-ն քսանը չգերազանցող թիվ է:

a < 20